4. Kleines Problem im Komplexen

Kleines Problem im Komplexen

  • B

    Hallo zusammen, ich mal wieder. Folgendes mathematisches Problem, Es gilt die Formel:
    (ab)^y = a^y * b^y bestimmt auch im Komplexen.
    Damit auch sqrt(a    b) = sqrt(a) * sqrt(b)
    Und jetzt:
    i = sqrt(-1) und
    i^2 = -1
    Aber jetzt:
    i^2 = sqrt(-1) * sqrt(-1) = sqrt(-1 * -1) = 1
    Man könnte sagen sqrt(-1) ist im reellen gar nicht definiert aber
    -1 = ist auch komplex, nämlich -1 + 0i
    Was mache ich falsch ? Oder ist die Wurzel im komplexen anders definiert ?

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  • S

    Kurz zur Information: Das Forum kann Latex, ist zwar etwas "versteckt" aber hilft sowas leserlich zu gestalten.

    Du hast in deinem ersten Teil schon eine Einschränkung gemacht, du setzt implizit y=2 (sqrt steht für Square root)

    Wenn ich mich richtig erinnere, schreibt man, um die Wurzel aus einer Komplexen Zahl zu ziehen, das am einfachsten in der entsprechende Potenzform und dann gab es da irgendeine Formel... deren Namen müsste ich jetzt selbst ergoogeln, das kannst du sicher auch selbst 😉

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  • B

    sqrt(x) = x^0,5. Finde das Latex nicht.

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    S
     1 Antwort
  • S

    @biter

    (x)=x12\sqrt(x) = x^{\frac{1}{2}} 

    $$\sqrt(x) = x^{\frac{1}{2}}$$

    Wie man darauf kommt, dass es gut ist die Wurzelschreibweise in Dezimalzahl statt mit Bruch in der Potenz zu schreiben, konnte ich noch nie verstehen.

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    W
     1 Antwort

  • @biter
    Das ist ein klassisches Verständnisproblem der Wurzel.

    Betrachte doch mal den Graph von f(x)=x2f(x) = x^2. Dieser entspricht bildlich gesprochen einem U (siehe Wiki).

    Betrachten wir nun die Umkehrfunktion f(x)−1=xf(x)^{-1} = \sqrt x. Der Graph dieser Funktion entspricht der Spiegelung der Funktion f(x)f(x) an der Achse y=xy = x. (siehe Umkehrfunktion). Bildlich gesprochen liegt das U nun um 90° nach rechts gedreht. Und auf einmal existiert zu einem X Wert zwei Y Werte.

    Ein Beispiel: f(2)=22=4,f(−2)=(−2)2=4f(2) = 2^2 = 4, f(-2) = (-2)^2 = 4. Also muss doch die Umkehrfunktion für den Wert 4, die Werte 2 und -2 zurückliefern. Und das vergisst man schnell.

    Dadurch lassen sich klassische Fallstricke basteln: −1=(−1)2=1=1-1 = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 Erkennst du das Problem? Es gilt x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| und wiederspricht damit im Fall x<0x < 0 der Definition einer Umkehrfunktion f(f(x))−1=xf(f(x))^{-1} = x

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  • B

    Ja das stimmt [l a t e x]$$\sqrt(4)$$[/l a t e x] hat eigentlich zwei Werte: 2 und -2. Das dürfte eine Funktion nicht haben. Eine Funktion ordnet einem Argument genau ein Wert zu. Man müsste aus der Wurzelfunktion zwei Funktionen machen. Latex hat hier nicht funktioniert. Danke Euch !

    0 1 Antwort

  • @biter sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    Latex hat hier nicht funktioniert. Danke Euch !

    Probiere doch mal folgendes als Plaintext:

    $f(x)^{-1}$
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  • W

    @Schlangenmensch sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    $$\sqrt(x) = x^{\frac{1}{2}}$$

    Du musst das (x) der Wurzel in {...} setzen, damit der Wurzelstrich ganz rüber geht.

    Also: $\sqrt{(x)}$ ist: (x)\sqrt{(x)}

    Dann sieht man auch, dass die runden Klammern unnötig sind (Programmiergewohnheit, passiert mit leider auch öfter mal), $\sqrt{x}$ = x\sqrt{x} sieht doch schon viel besser aus 😉

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  • B

    Kleiner Versuch (x)\sqrt{(x)} geht ?

    0 1 Antwort

  • @biter
    👍

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    @biter sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    Aber jetzt:
    i^2 = sqrt(-1) * sqrt(-1) = sqrt(-1 * -1) = 1

    Das stimmt bloß nicht!

    i2=−1⋅−1≠−1⋅−1=1i^2 = \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}\neq\sqrt{-1\cdot-1}=1

    Die linke Seite der Ungleichung ist nicht durch die reellen Rechenregeln abgedeckt, die rechte Seite ist es.

    Aber zuerst muss etwas anderes korrigiert werden.

    @Quiche-Lorraine sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    @biter
    Ein Beispiel: f(2)=22=4,f(−2)=(−2)2=4f(2) = 2^2 = 4, f(-2) = (-2)^2 = 4. Also muss doch die Umkehrfunktion für den Wert 4, die Werte 2 und -2 zurückliefern. Und das vergisst man schnell.

    Nein, eine normale Funktion (in der Funktionentheorie sprich komplexen Analysis sieht es etwas anders aus) darf nur einen Wert zurückliefern, sonst ist es keine Funktion mehr. Daher: Die Wurzelfunktion liefert für 4 nur 2 zurück! Etwas anderes ist, wenn man die Gleichung

    x2=4x^2=4

    lösen will. Hier ergibt sich dann

    x=±2,x=\pm 2\text{,}

    weil man eine Fallunterscheidung machen muss.

    Zurück zum Thema komplexe Mulitplikation, diese ist definiert als

    (a+i⋅b)⋅(c+i⋅d)=a⋅c−b⋅d+i(a⋅d+b⋅c)(a+i\cdot b)\cdot(c+i\cdot d)=a\cdot c-b\cdot d+i(a\cdot d+b\cdot c)

    und in der Polardarstellung ist sie als

    r1⋅ei⋅ϕ1⋅r2⋅ei⋅ϕ2=r1⋅r2⋅ei⋅(ϕ1+ϕ2)r_1\cdot e^{i\cdot\phi_{1}} \cdot r_2\cdot e^{i\cdot\phi_2}=r_1\cdot r_2\cdot e^{i\cdot(\phi_1+\phi_2)}

    definiert. Dabei sind r1r_1 und r2r_2 aus R0+\mathbb{R}_0^+ und ϕ1\phi_1 sowie ϕ2\phi_2 aus [0,2π[[0, 2\pi[. Man sieht schon, dass ϕ1+ϕ2>2π\phi_1+\phi_2>2\pi oder ϕ1+ϕ2<0\phi_1+\phi_2<0 sein können. Dann muss 2π2\pi abziehen bzw. addieren, so dass der Winkel wieder im halboffenen Intervall [0,2π[[0,2\pi[ liegt. Die Exponentialfunktion im komplexen ist periodisch in 2π2\pi.

    Die komplexe Wurzelfunktion wird üblicherweise in der Polardarstellung definiert. Dabei ist die komplexe Wurzel zn\sqrt[n]{z} die Lösung der Gleichung

    zn=a.z^n=a \text{.}

    Für a≠0a\neq0 lässt sich dann für aa in der Polardarstellung a=∣a∣eiφa=|a|e^{i\varphi} die nn-te Wurzel wie folgt berechnen:

    zk=∣a∣nexp(iφn+k⋅2iπn)mitk=0,1,…,n−1z_k=\sqrt[n]{|a|}\exp\left( \frac{i\varphi}{n}+k\cdot\frac{2i\pi}{n} \right)\quad\text{mit}\quad k=0, 1, \ldots, n-1

    Wenn wir nun anfangen die Wurzel aus −1=eiπ-1=e^{i\pi} zu ziehen und diese zu quadrieren.

    [eiπ]2=[eiπ2]2=eiπ oder [eiπ]2=[eiπ2+iπ]2=[ei32π]2=e3iπ\left[\sqrt{e^{i\pi}}\right]^2=\left[e^{i\frac{\pi}{2}}\right]^2=e^{i\pi}\text{ oder }\left[\sqrt{e^{i\pi}}\right]^2=\left[e^{i\frac{\pi}{2}+i\pi}\right]^2=\left[e^{i\frac{3}{2}\pi}\right]^2=e^{3i\pi}

    Wegen der besonderen Eigenschaft der Exponentialform im komplexen ist eiπ=e3iπ=−1e^{i\pi}=e^{3i\pi}=-1.
    Vertauschen wir nun einmal das Quadrieren und das Radizieren

    (eiπ)2=e2iπ=exp[2iπ2+k2iπ2]=exp[iπ+kiπ],\sqrt{\left(e^{i\pi}\right)^2}=\sqrt{e^{2i\pi}}=\exp\left[\frac{2i\pi}{2}+k\frac{2i\pi}{2} \right]=\exp\left[i\pi+k i\pi\right]\text{,}

    ergibt dies nun für k=0k=0 und k=1k=1

    eiπ=−1 oder ei2π=ei0=1.e^{i\pi}=-1\text{ oder } e^{i2\pi}=e^{i0}=1\text{.}

    D.h. im komplexen gibt es nun zwei unterschiedliche Lösungen −1-1 und 11.

    Ich hoffe das hilft weiter. Das Rechnen im komplexen ist nicht 1:1 identisch mit dem in der reellen Zahlen, die Wurzelfunktion ist eine andere und insbesondere sind die Exponentialfunktion und der Logarithmus periodisch. Weshalb man in der Physik sehr heftigen Gebrauch davon macht, da sehr einfach ist Wellenfunktionen in Form der komplexen Exponentialfunktion zu schreiben.

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    J
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  • J

    @john-0 sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    Nein, eine normale Funktion (in der Funktionentheorie sprich komplexen Analysis sieht es etwas anders aus) darf nur einen Wert zurückliefern

    Mmmh? Keine Ahnung, was du meinen könntest, aber so ist der Satz sicherlich falsch. Sag mal ein Stichwort, worauf du hinaus wolltest.

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    S
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  • S

    @Jockelx Er sagt, dass die Abbildung eindeutig sein muss.

    f(4)=2f(4) = 2

    und

    f(4)=−2f(4) = -2

    beschreibt keine Funktion. Ich glaube "rechtseindeutig" ist das entsprechende Stichwort 😉

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    J
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  • J

    @Schlangenmensch sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    Er sagt, dass die Abbildung eindeutig sein muss.

    Ja, das habe ich auch so verstanden. Ich wollte wissen, wo das bei komplexen Funktionen anders sein soll.

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  • B

    Toll, eine Antwort vom Spezialisten !!
    Gilt im Komplexen nicht immer: (ab)x=ax⋅bx?(ab)^x = a^x \cdot b^x ?
    auch für x=12x = \frac{1}{2} und a = -1 und b = -1 ?
    Im reellen ist es nicht definiert.

    Es stimmt: "Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allgemeinen nur dann möglich, wenn die Zahl in Polarform gegeben ist".

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    @Jockelx sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    Mmmh? Keine Ahnung, was du meinen könntest, aber so ist der Satz sicherlich falsch. Sag mal ein Stichwort, worauf du hinaus wolltest.

    Ein Funktion muss eine eindeutig Abbildung definieren. In der komplexen Analysis sind Funktionen durchaus nur auf Intervallen definiert, und es gibt bei einigen nicht mehr nur „eine Lösung“ sondern mehrere. Allerdings nicht dadurch, dass die Funktion mehrdeutig abbilden würde, sondern die zu Grunde liegende Gleichung liefern mehrere Lösungen. Wenn man hier schlampig formuliert kann es da schnell zu Problemen kommen. Da wollte ich vorbauen.

    Dann gibt es noch den Bereich der Distributionen. Die bekannteste dürfte die Dirac-„Funktion“ sein, diese bildet dann auf „unendlich viele Werte“ ab. Simpel formuliert das Ding ist infinitesimal schmal, unendlich hoch und das Integral darüber ist als 11 definiert. Wie der Name Dirac-„Funktion“ nahelegt, wird sie in der Physik sehr häufig benutzt. Paul Dirac war ein sehr bekannter theoretischer Physiker, der die Quantenmechanik mit begründet hat.

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    J
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  • J

    @john-0 sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    . In der komplexen Analysis sind Funktionen durchaus nur auf Intervallen definiert

    Also mal ehrlich...komplexe Funktionen sind nur auf Intervallen definiert!? Das meinst du jetzt nicht ernst oder?

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    @Jockelx sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    Also mal ehrlich...komplexe Funktionen sind nur auf Intervallen definiert!? Das meinst du jetzt nicht ernst oder?

    Schau Dir bitte die komplexe Logarithmusfunktion an.

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    J
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  • J

    @john-0 Ich kann mir das nur so erklären, dass wir irgendwo falsch abgebogen sind und zu 100% aneinander vorbei reden.
    Du sagst alle Funktionen haben die Eigenschaft xy (hier: sind nur auf Intervallen definiert), ich sage das ist Unsinn und du "beweist" das, indem du mich aufforderst Funktion abc anzugucken!?
    Und der komplexe Logarithmus macht die Aussage "im komplexen darf eine Funktion mehrere Werte zurückgeben" ungefähr genauso "richtig", wie "im reelen darf eine Funktion mehrere Werte zurückgeben - siehe Stammfunktion".

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  • F

    @Jockelx sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    @john-0 sagte in Kleines Problem im Komplexen:

    . In der komplexen Analysis sind Funktionen durchaus nur auf Intervallen definiert

    Also mal ehrlich...komplexe Funktionen sind nur auf Intervallen definiert!? Das meinst du jetzt nicht ernst oder?

    Öhm eventuell verstehe ich das auch falsch. john-0 hat das wort "durchaus" verwendet.
    Ich würde das jetzt so interpretieren dass damit gemeint ist das funktionen auf Intervallen definiert ist aber das es nicht für alle funktionen gilt

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    J
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